Miért nehezítheti meg a bennfoglalás a törtek megértését, hogyan lehetne ezen segíteni. Mosóczi András, a Mateking alapító-vezetőjének írása. Vélemény. 2. rész.
A következő rendkívül káros téveszme a bennfoglalás kapcsán, hogy a maradékos osztást csak a bennfoglalással lehet szemléltetni.
Személyes meggyőződésem, hogy épp a bennfoglalás az, ami felelős azért, hogy a diákok nem értik a törteket, nehézséget okoz nekik a törtek témaköre és gyakran azzal sincsenek tisztában, hogy a törtvonal lényegében egy osztást jelent.
A tettes pedig az a dogma, amely szerint „a maradékos osztást csak a bennfoglalással lehet elmagyarázni, a részekre osztással nem” és ennek a logikai alátámasztása az a másik dogma, hogy „az egyenlő részekre osztás csak akkor alkalmazható, ha nincsen osztási maradék”.
A vélemény első része: Bennfoglalás – áldás vagy átok?
Ezen utóbbi állítás logikailag tökéletesnek tűnhet, hiszen hogyan is lehetne például egész számkörben 4 egyenlő részre osztani a 13-at? Sehogy, ergo nem használható az egyenlő részekre osztás, a bennfoglalás viszont igen.
Véleményem szerint ez a vaslogika álruhájába öltöztetett kijelentés az, ami több tízezer diáknak nehezíti meg a törtek helyes értelmezését.
És most megmutatom, hogy miért.
Induljunk ki a 13 osztva 4-gyel példából. A 13 egész számkörben nem osztható 4-gyel, maradékosan osztva pedig a 4 megvan benne 3-szor és az osztási maradék 1.
A nyolcadikosok mintegy 22 százaléka legfeljebb csak a legalapvetőbb matematikai fogalmakat ismeri és a hét képességszintből jobb esetben csak a második szinten áll - derült ki a 2025-ös kompetenciamérés eredményéből.
És itt jön most a fenti mondat tragikus hatása. Az következik ugyanis belőle, hogy „ha nem lehet egyenlő részekre osztani, akkor itt csak bennfoglalás lehet”. És ezzel ássák meg azt a szakadékot, ami a diákok és a törtek megértése között mélyül.
Úgy folytatódik ugyanis a „logika”, hogy „mivel csak bennfoglalás lehet”, megnézzük, hogy a 13-ban a 4 hányszor van meg. Szemléletesen megtöltünk egy dobozt 4 keksszel, aztán egy újabbat, meg egy újabbat és arra jutunk, hogy három doboz tölthető meg és kimaradt egy keksz, tehát a 13-ban a 4 megvan 3-szor és marad az 1. Ízesebben fogalmazva a 13-ban a 4 benne foglaltatik 3-szor és marad az 1.
Az vele a baj, hogy a bennfoglalás nem értelmezi a törteket. És ezzel a maradékos osztás és a törtek közé áthidalhatatlan szakadékot épít a gyerekek fejében.
Számoljunk le a téveszmével, hogy maradékos osztást nem lehet az egyenlő részekre osztásnál definiálni. Nagyon is lehet, sőt, nekem az a meggyőződésem, hogy csak és kizárólag így szabad. Nézzük meg, hogy miért.
Maradjunk továbbra is a 13 osztva 4-gyel példánál és próbáljuk meg egyenlő részekre osztani.
Értsük meg azt a szemléletet, hogy a maradékos osztásnál az osztási maradék egyfajta kudarc. Értem ez alatt azt, hogyha van 13 keksz, akkor teljesen mindegy, hogy négy gyereknek kezdjük el kiosztani, vagy négyesével csoportosítjuk a kekszeket, a dolog „sikertelenség”be fullad. Azon egyszerű okból, hogy sajna a 13 nem osztható 4-gyel.
A „sikertelenség” a bennfoglalásnál már láttuk, hogy mit jelent.
Van 13 keksz és 4 gyerek között szeretnénk szétosztani igazságosan, vagyis úgy, hogy minden gyerek pontosan ugyanannyi kekszet kap.
Az egyenlő részekre osztás módszere azt diktálja nekünk, hogy először minden gyerek kap egy kekszet, tehát 1-1-1-1 keksz van a gyerekeknél.
Aztán mindenkinek adunk még egy kekszet, és akkor 2-2-2-2 keksz van náluk. Aztán megint adunk egy újabb kekszet és akkor 3-3-3-3 kekszük van.
Eddig 12 darab kekszet osztottunk ki, tehát már csak 1 darab keksz van. Nyilvánvaló, hogyha nem törhetjük el a kekszeket, akkor nem tudunk 1 darab kekszet 4 gyerek között igazságosan szétosztani. Az egyenlő részekre osztás művelete itt elakad.
És azt mondjuk, hogy 13 osztva 4-gyel az 3 és maradt az 1, vagy ha úgy jobban tetszik, a 13-ban a 4 megvan 3-szor és maradt az 1.
Pontosan ugyanarra az eredményre jutunk, mint a bennfoglalással, csak éppen itt sokkal több jelentéstartalommal. Egyrészt képbe kerül a „hiba” szemlélet, vagyis az, hogy nem tudtuk tökéletesen végrehajtani a tervet, mert nem lehet a 13 kekszet egyenlő részekre osztani a 4 gyerek között. Eljutottunk az osztási maradék definíciójához, nevezetesen ahhoz, hogyha a 13-ban nincs meg (egész számszor) a 4, akkor az osztás során maradék keletkezik.
Pontosan kiderül tehát, hogy miért keletkezik a maradék és az is szemléletesen látszik, hogy mennyi ez a maradék.
Mi van akkor, ha mégis szét akarjuk osztani valahogyan a 13 darab kekszet maradék nélkül? Hogyan lehetne elérni, hogy minden keksz ki legyen osztva és minden gyerek ugyanannyi kekszet kapjon?
Van négy gyerek, van még egy megmaradt keksz. Hmmm mit lehetne vajon tenni? A megmaradt kekszet szét kell törni négy részre. És itt jön képbe a törtrész.
Vagyis megkapjuk azt, hogy a 13 osztva 4-gyel az 3 és a maradék 1, de ha akarom, akkor a 13 osztva 4-gyel az 3 és még egy negyed.
Ez a bennfoglalással sohasem jöhet ki annak természete miatt.
A matematikaoktatásban jelenlévő ciklikussággal tehát megtehetjük azt, hogy első körben megtanítjuk a maradékos osztást úgy, hogy 13 osztva 4-gyel az 3 és sajnos keletkezik egy maradék keksz. Nem lehet mit tenni, ez van.
Aztán második körben ugyanezt a történetet folytathatjuk úgy, hogy mégis jó lenne ezt az egy megmaradt kekszet is szétosztani és így 13/4=3 + ¼ és bumm, bevezettük a törteket, szinte észrevétlenül, teljesen természetes módon a maradékos osztás egyfajta továbbgondolásaként.
Ez nem csak azért hasznos, mert egységes képet ad, hanem azért is, mert gyönyörűen szemlélteti a matematika működését. Nevezetesen azt, hogy amikor egy művelet elvégzése korlátokba ütközik, akkor ezt hogyan lehet valahogyan kiterjesztetni. Úgy, hogy a továbblépés érdekében valahogy bővítjük a számkört amiben a műveletet végezzük. Így jönnek képbe egy kvázi „hiba” folytán a negatív számok, vagy épp később a komplex számok és így kerülnek képbe a racionális számok is.
Ezzel szemben a bennfoglalásos megközelítés egy kvázi zsákutca, ahonnan ki kell farolni ahhoz, hogy elkezdhessük a törteket.
És végül két gondolat. Az egyik, hogy a ( / ) és ( : ) megkülönböztetés súlyos szakmai hiba.
Az ISO 80000-2:2019/2-10.6 sztenderd szerint az osztásra a ( / ) és a ( : ) jelölés egyformán használható. A két jelölés tehát egymással ekvivalens. Így az a tanár, aki hibának tekinti, hogy a diák az egyik vagy a másik jelölést használja, szembemegy a nemzetközi jelölésrendszerre
Nem véletlen, hogy a számológépeken az osztás gombon a ( / ) és a ( : ) jelek egyesítésével kapott jel szerepel.
A másik gondolat, hogy a bennfoglalás mint jelenség, természetesen tanítható, csak pontosan tisztázni kell, hogy ez nem egy új művelet, hanem az osztásnak az egyik megjelenési formája. És talán jobb lenne mindezt úgy szemléltetni, hogy a diákok a szorzás megtanulása közben elkezdenék a számokat vizuálisan ábrázolni számkártyák segítségével.
Szülők tízezreinek szorul össze a gyomra, amikor meghallja a “bennfoglalás” szót, és felidéződik bennük a sok-sok értetlenkedés meg vita a gyerekkel, esetleg a tanítóval, az iskolával… De mi is az a bennfoglalás, mi szükség van rá az oktatásában, és vajon valóban szükség van-e rá? Mosóczi András, a Mateking alapító-vezetőjének írása. Vélemény.
