Központi írásbeli 2026: mutatjuk, hány pontot szerzett a legtöbb nyolcadikos magyarból és matekból
A 2026-os központi írásbeli hivatalos eredményei szerint a diákok mintegy 8 százaléka szerzett legalább 80 pontot.
Kezdjük azzal, hogy mit is jelent a bennfoglalás. A bennfoglalás tulajdonképpen az osztás kétféle természete nyomán kialakuló fogalom.
Amikor két számot összeszorzunk, a tényezők sorrendje felcserélhető. Vagyis 3*2 ugyanannyi, mint 2*3, bár nem feltétlen ugyanaz.
Ha egy tojástartóban van 3*2 darab tojás, akkor az végülis 2*3-nak is mondható. Igazából nincsen jelentősége. Ha az orvos felír napi 3 alkalommal 2 szem gyógyszert, az már nem ugyanaz, mintha 2 alkalommal veszünk be 3 szemet, vagyis itt a sorrendnek van egy extra jelentéstartalma.
Ez egyébként egy rossz konvenció, vagyis a napi 3*2 szem gyógyszer helyett érthetőbb lenne a napi 2 szem * 3 alkalom. Az orvos nem matektanár, tehát nem az a feladata, hogy egy matematikai műveletet írjon fel, hanem az, hogy a gyógyszert írja fel. Lehetőleg mindenki számára egyértelmű utasításokkal.
Itt rögtön fontos kitérni egy romboló hatású módszertani hibára, amit sajnos több alsó tagozaton tanító pedagógus el szokott követni. Amikor az a feladat, hogy írjuk fel számokkal, hogy van három gyerek és mindhárom gyereknek adunk két szem cukrot, akkor ezt bizonyos tanárok úgy várják el, hogy 3*2 és a fordított sorrendet helytelennek tarják, sőt büntetik.
Ezzel nem csak a probléma, hogy egy matematikailag helyes eredményre vezető választ helytelennek minősítenek, és ezzel feleslegesen rombolják a diákok önbecsülését és a matematikához való viszonyulásukat.
Közben egy másik hatalmas kár is keletkezik.
Éppen az lenne a cél a szorzás tanítása közben, hogy a diákokban kialakítsuk azt a szemléletet, hogy a szorzás kommutatív. Vagyis teljesen mindegy, hogy két sorba rakunk 3 cukrot vagy három sorba 2 cukrot, mindkét esetben 6 szem cukrunk van.
Egy tevékenység a valóságban nem biztos, hogy felcserélhető, de mint művelet, matematikailag igen.
A matematika pedig műveletekkel dolgozik, a bennünket körülvevő világot formalizálja.
Amikor tehát leírjuk, hogy 2*3 az jelentheti azt is, hogy 2 gyereknek adunk 3 cukrot és azt is, hogy 3 gyereknek adunk 2 cukrot, és mint művelet, teljesen mindegy, hogy melyik szituáció valósul meg. Vagyis a matematika az életben előforduló más és más történéseket sokszor ugyanazzal a képlettel írja le.
Éppen ebben rejlik az ereje, hiszen gondoljunk bele mi történne, ha a valóságban létező több ezer lehetséges történésre a matematika is több ezer műveletet használna. Teljes káosz és kudarc.
Ez egy nagyon fontos gondolat, amit a gyerekeknek sokszor nehéz megérteni, és éppen segíteni kéne őket abban, hogy ezt megértésék, nem pedig pont az ellentétes irányba vinni őket azt sugallva, hogy a képletek "emlékeznek” arra is, hogy mi történt az adott helyzetben, tehát 2 gyerek volt 3 cukorral vagy 3 gyerek két cukorral.
Arról már nem is beszélve, amikor egyes pedagógusok egy szorzatban külön hangsúlyt helyeznek a szorzó és szorzandó megnevezésekre, mintha nem pont az lenne a szorzás lényege (6. test axióma a valós számok axiomatikus megalapozásában) hogy a szorzás tényezői felcserélhetők.
És akkor arról már végkép nem beszélve, hogy a 2*3 hogyan olvasható ki, tehát vannak, akik ezt a “három szorozva kettővel” terminológia szerint mondják ki, itt pedig aztán ember legyen a talpán, aki képes még követni, hogy mi van szorozva mivel, és mi a szorzó és mi a szorzandó.
A dolog tragédiája, hogy ennek az égvilágon semmi, de semmi jelentősége nincsen.
Közben pedig a sok haszontalan, a diákok agyát terhelő információban elvész néhány nagyon is lényeges fogalom is. Annak ugyanis már drámai jelentősége lenne, hogy mi a különbség a tag és a tényező között, és ezt sajnos a diákok hatalmas százaléka még középiskolában is téveszti, sőt gyakran előfordul egyetemi hallgatóknál is, de nem egyszer láttuk, hogy maguk a tanárok is keverik.
Az osztás kétféle természete
A bennfoglalás alapelve az osztás kétféle természete miatt jött létre.
Az angolszász területeken ezeket partitive (sharing) és quotative (measurement) division néven emlegetik, és a dolog igazából egy halmazelméleti kérdés. A lényege egy szemléletes példán keresztül könnyedén megragadható.
Van 12 darab kekszünk, és ezt szeretnénk szétosztani.
Az osztás egyik értelmezése, hogy 4 gyerek között egyenlő arányban osztjuk szét a kekszeket. Ezt úgy tesszük meg, hogy először minden gyereknek adunk egy darab kekszet. Aztán amikor ezzel megvagyunk, megint minden gyerek kap egy kekszet, végül még egy újabb körben az összes kekszet szétosztjuk. Így minden gyerek 3 darab kekszet kap.
Ezt a tevékenységet hívjuk egyenlő részekre osztásnak, és így jutunk el oda, hogy 12/4=3.
Az osztás másik értelmezése, amikor a 12 darab kekszet úgy osztjuk ki a gyerekek között, hogy minden gyereknek 4 darab kekszet akarunk adni. Ekkor, mivel a 12-ben a 4 éppen 3-szor van meg, hiszen 3*4=12, összesen 3 gyereknek adhatunk kekszet.
Vagyis 12/4=3 de itt a 3 a gyerekek számát jelöli.
Az első esetben tehát a 12/4=3 a kekszek számát jelentette, míg a második esetben a 12/4=3 a gyerekek számát jelenti.
BENNFOGLALAS
Mosóczi András
És akkor most jönnek a gondok…
Az egyik legnagyobb probléma, amikor a kétféle osztásra külön jelöléseket is bevezetnek. A részekre osztásnál a ( / ) jelölés, míg a bennfoglalásnál a ( : ) jelölést szokták használni. Ez pedig azt a hamis képzetet kelti a diákokban, mintha ezek más-más műveletek lennének. Valójában ez nem igaz, ugyanis maga a művelet az osztás, és ami eltér, az csak ennek a műveletnek a reprezentációja, a vizuális vagy halmazelméleti értelmezése.
Semmi sem indokolja, hogy a diákoknak az osztásra kétféle jelölést mutassunk. Sőt, ha ezt a két jelölést nem egyenértékűnek tekintjük, azzal súlyos szakmai tévedést követünk el.
Gondoljunk bele egy kicsit abba, hogy mit érezhet egy másodikos diák, amikor a műveleteket tanulja. Megtanulta az összeadást, és azt, hogy ezt a műveletet a ( + ) jel jelöli. Aztán megtanulta a kivonást amire a ( - ) jelet használjuk. Ezek után a szorzást is megtanulja, amit ( ∙ ) jelöl. És ezek után következik az osztás.
Ha a részekre osztásnál a ( / ) jelölést, míg a bennfoglalásnál a ( : ) jelölést használja a tanár, ezzel azt a (téves) elképzelést alakítja ki a diákokban, hogy ez a két művelet eltérő. Hiszen a diákok azt látták, hogy a különböző műveletek különböző jeleket kapnak. Logikusan következik tehát számukra, hogyha a tanár más-más jelet használ, akkor itt bizonyára különböző műveletekről van szó.
Egyrészt szerintem nem elvárható másodikos diákoktól az az absztrakció, hogy itt most ugyanazt a műveletet más-más helyzetekben jelöljük eltérő módon, másrészt pedig értelmetlen és káros dolog is ilyet tanítani nekik, hiszen a matematika nem ismer ilyen megkülönböztetést. Vannak természetesen terminológiailag eltérő jelölésmódok például a vektorokat félkövérrel szedve vagy aláhúzással is jelölhetjük, a differenciálszámításban a függvény deriváltját df/dx vagy f’ karakterekkel is jelölhetjük, de ezek egymás „szinonímái” és egyébként még ez is zavaró tud lenni még az egyetemista hallgatók egy részének is.
Ezzel szemben az, hogy másodikos diákoknak nem csak kétféle jelölést mutatunk az osztásra, de még jelentésbeli különbséget is adunk neki, ez egy olyan didaktikai zsákutca, amiből csak nagyon nehéz kifarolni. Sok-sok diák éveken át meg van győződve róla, hogy a bennfoglalás nem osztás. Olyasmi, mint az osztás, de mégsem az. És mindezért két dolog felelős.
Egyrészt egyszerűen el lehetne mondani, az osztás kétféle természetét és bemutatnák azt, hogy 12 gyerek három oszlopba és négy sorba állva tekinthető 3 darab négyes csoportnak és négy darab hármas csoportnak, vagyis a 12 osztva 4-gyel jelentheti azt is, hogy egy csoportban 3 gyerek van és azt is, hogy 3 darab négyes csoport van. Helyette két teljesen eltérő fogalomnak látszó elnevezéssel, a részekre osztással és a bennfoglalással már megágyaznak annak, hogy a diákok ezt két különböző műveletnek képzeljék.
Másrészt ezt azzal tetézik, hogy a különbözőnek látszó műveletekre elkezdenek különböző jelöléseket is használni. Sok esetben olyannyira, hogyha egy diák „a 12 kekszet négyesével rakunk pohárba és hány pohár lesz” kérdésre a 12/4=3 választ adja, akkor azt a tanár még pirossal be is karikázza, mert az „helyesen” 12:4=3.
És itt veszítünk el ezer meg ezer csillogó szemű és jó logikájú, matekot eddig szerető gyereket azzal, hogy a matematikailag helyes megoldásaikat ezek a tanárok egy igazából nemlétező dologra hivatkozva „kijavítják”.
(folytatjuk)