Matek érettségi: a második rész feladatai és a megoldások

2009. május. 05. 12:56

11-kor ért véget az idei matek érettségi, a középszintű feladatsor második részének szaktanárok által kitöltött megoldásai itt olvashatóak.

13. Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon élők kor és nem szerinti megoszlása (ezer főre) kerekítve az alábbi volt:

korcsoport (év)	férfiak száma (ezer fő)	nők száma (ezer fő)
0 -19	1 214	1 158
20 - 39	1 471	1 422
40 - 59	1 347	1 458
60 - 79	685	1 043
80 -	75	170

a) Melyik korcsoport volt a legnépesebb?
A táblázat adatai alapján adja meg, hogy hány férfi és hány nő élt Magyarországon 2000. január 1-én?

b) Ábrázolja egy közös oszlopdiagramon, két különböző jelölésű oszloppal a férfiak és a nők korcsoportok szerinti megoszlását!

c) Számítsa ki a férfiak százalékos arányát a 20 évnél fiatalabbak korcsoportjában, valamint a legalább 80 évesek között!

Megoldás:

a) A legnépesebb a 20 – 39 korcsoport volt 2 893 ezer fővel
2000 01 01-én összesen
nő: 5251 ezer fő
férfi: 4792 ezer fő

c) 20 év alatt: 1214/2372*100 = 51,18%
80 év fölött: 75/245*100 = 30,61%

14. Egy vetélkedőn részt vevő versenyzők érkezéskor sorszámot húznak az urnából. Az urnában 50 egyforma gömb van. Minden egyes gömbben egy-egy szám van, ezek különböző egész számok 1.50-ig.

a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az elsőnek érkező versenyző héttel osztható számot húz?

A vetélkedő győztesei között jutalomként könyvutalványt szerettek volna szétosztani a szervezők. A javaslat szerint Anna, Bea, Csaba és Dani kapott volna jutalmat, az egyes jutalmak aránya az előbbi sorrendnek megfelelően 1:2:3:4. Közben kiderült, hogy akinek a teljes jutalom ötödét szánták, önként lemond az utalványról. A zsűri úgy döntött, hogy a neki szánt 16 000 forintos utalványt is szétosztják a másik három versenyző között úgy, hogy az ő jutalmaik között arány ne változzon.

b) Összesen hány forint értékű könyvutalványt akartak a szervezők szétosztani a versenyzők között, és ki mondott le a könyvutalványról?

c) Hány forint értékben kapott könyvutalványt a jutalmat kapott három versenyző külön-külön?

Megoldás:

a) 1-50-ig a héttel osztható egész számok: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49. Összesen 7 db
P = 7/50

b) 1x+2x+3x+4x = 10x. 10 x egy ötöde az 2x, tehát Bea mondott le a könyvutalványról
2x = 16 000, akkor x = 8 000, 10x = 80 000 tehát a nyeremény teljes összege: 80.000 Ft

c) 1y+3y+4y=80 000
8y=80 000
y=10 000
Nyeremények: Anna: 10.000 Ft, Csaba: 30.000 Ft, Dani: 40.000 Ft

15. Valamely derékszögű háromszög területe 12 cm3, az α hegyesszögéről pedig tudjuk, hogy tg α = 3/2

a) Mekkorák a háromszög befogói?
b) Mekkorák a háromszög szögei, és mekkora a köré írt kör sugara?
(A szögeket fokokban egy tizedesjegyre, a kör sugarát centiméterben szintén egy tizetedesjegyre kerekítve adja meg!)

Megoldás

a) tg α = a/b = 3/2, ebből a= (3/2)b
Terület = (ab)/2 = 12, ebből ab = 24
(3/2)b*b = 24
b2 = (2*24)/3 = 16
b = 4 cm
a=6 cm

b) tg α = 3/2, ebből α=56,3^o és β= 33,7^oc² = a² + b³c² = 36+16 = 52
c = 7,2

A derékszögű háromszög köré írható kör átmérője az átfogó. Ennek fele a sugár: r=3,6 cm

16. A következő kérdések ugyanarra a 20 oldalú szabályos sokszögre vonatkoznak.

a) Mekkorák a sokszög belső szögei? Mekkorák a külső szögei?

b) Hány átlója, illetve hány szimmetriatengelye van a sokszögnek?
Hány különböző hosszúságú átló húzható egy csúcsból?

c) Milyen hosszú a legrövidebb átló, ha a szabályos sokszög beírt körének sugara 15 cm? A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg!

Megoldás:

a) Belső szögeinek összege: (20-2)*180 = 3240^o ebből 1 szöge= 3240/20=162^o
Külső szöge: 180-162 = 18^o

b) Átlóinak száma: (20*(20-3))/2 = 170^o
Szimmetria tengelyek száma 20 db
Egy csúcsból összesen 17 átló húzható, ezek közül 8-nak van ugyanolyan hosszúságú párja, ezért 17-8 = 9 különböző hosszúságú átló húzható

c) A legrövidebb átló hossza: 9,38 cm

17. A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját úgy kaptuk, hogy a g: R -> R g(x) = (1/2)x²

a) Adja meg az f függvény hozzárendelési utasítását képlettel!

b) Határozza meg az f zérushelyeit!

c) Ábrázolja f grafikonját a [-2, 6] intervallumon!

d) Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget!

Megoldás:

a) f: R -> R f(x) = (1/2)*(x-2)²- 4,5

b) f(x) = 0
x²-4x-5 = 0, ebből x_í= 5, x₂ = -1

d)     f(x) = (1/2)x²-(1/2)*4x+(1/2)*4-4,5
f(x) = (1/2)x²-2x+2-4,5
f(x) = (1/2)x²-2x-2,5

18. Egy ruházati nagykereskedés raktárában az egyik fajta szövetkabátból már csak 20 db azonos méretű és azonos színű kabát maradt. Ezek között 9 kabáton apró szövési hibák fordulnak elő. A nagykereskedés eredetileg darabonként 17 000 Ft-ért árulta a hibátlan és 11 000 Ft-ért a szövési hibás kabátokat. A megmaradt 20 kabát darabját azonban már egységesen 14 000 Ft-ért kínálja.
Egy kiskereskedő megvásárolt 15 darab kabátot a megmaradtakból. Ezeket egyenlő valószínűséggel választja ki a 20 kabát közül.

a) számítsa ki, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kabátok között legfeljebb 5 olyan van, ami szövési hibás! (A valószínűséget három tizedesjegyre kerekítve adja meg!)

b) Legfeljebb hány hibás kabát volt a 15 között, ha a kiskereskedő kevesebbet fizetett, mint ha a kabátokat eredeti árukon vásárolta volna meg?

Megoldás:

a)      Legfeljebb 5 hibás kabát csak úgy lehet, ha 4, vagy 5 kabátot vesz a kereskedő.

b)     A kereskedő 15 kabátért 210000Ft-ot fizetett
Hibás kabát : x db
Jó kabát : 15x db

11 000x + 17 000(15-x) ≥ 210 000
11 000x + 255 000 – 17 000x ≥ 210000
43 000 ≥ 6 000 x
7,5 ≥ x

Legfeljebb 7 hibás kabát volt a 15 kabát között